Делимость чисел

1. Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка
2. Кратным натурального числа b называют натуральное число, которое делится без остатка на b
3. Признак делимости на число 2. Все натуральные числа, запись которых оканчивается четной цифрой, делятся на 2.
4. Признак делимости на число 5. Все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, делятся на 5.
5. Признак делимости на число 10. Все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0, делятся на 10.
6. Признак делимости на число 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.
7. Признак делимости на число 9. Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.
8. Признак делимости на число 4. Если число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4, то и само данное число делится на 4.
9. Признак делимости на число 11. Если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11, то и само число делится на 11.
10. Простым называют число, которое имеет только два делителя: единицу и само это число.
11. Составным называют число, которое имеет более двух делителей.
12. Число 1 не относится ни к простым числам, ни к составным числам.
13. Запись составного числа в виде произведения только простых чисел называется разложением составного числа на простые множители. Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.
14. Наибольшим общим делителем данных натуральных чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел.
15. Наибольший общий делитель данных чисел равен произведению общих простых множителей в разложениях этих чисел. Пример. НОД(24, 42)=2·3=6, т. к. 24=2·2·2·3, 42=2·3·7, их общие простые множители 2 и 3.
16. Если натуральные числа имеют только один общий делитель-единицу, то эти числа называют взаимно простыми.
17. Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел. Пример. НОК(24, 42)=168. Это самое маленькое число, которое делится и на 24 и на 42.
18. Для нахождения НОК нескольких данных натуральных чисел надо: 1) разложить каждое из данных чисел на простые множители; 2) выписать разложение большего из чисел и умножить его на недостающие множители из разложений других чисел.
19. Наименьшее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

Процент

1. Процентом называется одна сотая часть.
2. Чтобы выразить проценты дробью или натуральным числом, нужно число процентов разделить на 100%. (4%=0,04; 32%=0,32).
3. Чтобы выразить число в процентах, нужно его умножить на 100%. (0,65=0,65·100%=65%; 1,5=1,5·100%=150%).
4. Чтобы найти проценты от числа, нужно выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью и умножить полученную дробь на данное число.
5. Чтобы найти число по его процентам, нужно выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.
6. Чтобы найти, сколько процентов составляет первое число от второго, нужно разделить первое число на второе и результат умножить на 100%.
7. 
8. 
9. 
10. 

Умножение и деление обыкновенных дробей

1. Произведение двух обыкновенных дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей данных дробей.
2. Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель дроби на это число, а знаменатель оставить тот же.
3. Два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными числами.
4. При умножении смешанных чисел их сначала обращают в неправильные дроби.
5. Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь..
6. Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь, нужно делимое умножить на число, обратное делителю.
7. При делении смешанных чисел их сначала обращают в неправильные дроби.
8. Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно знаменатель дроби умножить на это натуральное число, а числитель оставить тот же. ((2/7):5=2/(7·5)=2/35).
9. Чтобы найти число по его дроби, нужно разделить на эту дробь число, ей соответствующее.

Решение уравнений

Раскрытие скобок.

1. Если перед скобками стоит знак «+» или не стоит никакого знака, то при раскрытии скобок знаки алгебраических слагаемых сохраняются.
2. Если перед скобками стоит знак «— », то при раскрытии скобок знаки алгебраических слагаемых меняются на противоположные знаки.

Приведение подобных слагаемых.

1. Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными слагаемыми.
2. Нахождение алгебраической суммы подобных слагаемых называется приведением подобных слагаемых.
3. Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть.

 Уравнение.

1. Равенство с переменной называют уравнением.
2. Решить уравнение – значит найти множество его корней. Уравнение может иметь один, два, несколько, множество корней или не иметь их вовсе.
3. Каждое значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.
4. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.
5. Любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
6. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Координаты на плоскости

Прямые на плоскости.

1. Через любые две точки можно провести единственную прямую. Прямая бесконечна.
2. Пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.
3. Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называются перпендикулярными. Две препендикулярные прямые делят плоскость на четыре прямых угла.
4. Через данную точку к данной прямой можно провести единственный перпендикуляр.
5. Длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к прямой, равна расстоянию от данной точки до этой прямой.
6. Если две прямые на плоскости не пересекаются, то их называют параллельными прямыми.
7. Отрезки, лежащие на параллельных прямых, параллельны.
8. Через каждую точку плоскости, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.
9. Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Координатная плоскость.

1. Две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке О — начале отсчета, образуют прямоугольную систему координат, называемую также декартовой системой координат.
2. Плоскость, на которой выбрана система координат, называется координатной плоскостью.
3. Координатные прямые называются координатными осями.
4. Горизонтальная — ось абсцисс (Ох), вертикальная — ось ординат (Оy).
5. Координатные оси разбивают координатную плоскость на четыре части — четверти. Порядковые номера четвертей принято считать  против часовой стрелки.
6. Любая точка в координатной плоскости задается своими координатами — абсциссой и ординатой.
7. Например, А(3; 4). Читают: точка А с координатами 3 и 4. Здесь 3 — абсцисса, 4 — ордината.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1. Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
2. Деление и числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.
3. Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) данных несократимых дробей является наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей.
4. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем. 2) найти для каждой из дробей дополнительный множитель, для чего делить новый знаменатель на знаменатель каждой дроби. 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
5. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше.
6. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше.
7. Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.
8. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
9. Если нужно сложить дроби с разными знаменателями, то сначала дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем складывают дроби с одинаковыми знаменателями.
10. Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, а знаменатель оставляют тот же.
11. Если нужно выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, то их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
12. При выполнении действий сложения или вычитания смешанных чисел эти действия выполняют отдельно для целых частей и для дробных частей, а затем результат записывают в виде смешанного числа.

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел

1. Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное.  Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули.  Пример:-5·(-6)=30
2. Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак « - ».

       Примеры::  а) -3·7=-21; б) 4·(-7)=-28.

3. Частное двух отрицательных чисел есть число положительное. Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя. Пример:  -8:(-2)=4.
4. Частное двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. При делении чисел с разными знаками, надо: 1) разделить модуль делимого на модуль делителя№; 2) поставить перед полученным числом знак «-2». Пример:  а)-20:4=-5; б) 12:(-2)=-6.
5. Число, которое можно записать в виде отношения , где  - целое число, - натуральное число, называют рациональным числом.
6. Чтобы рациональное число записать в виде десятичной дроби, нужно числитель разделить на знаменатель. При этом частное записывается или конечной или бесконечной десятичной дробью.
7. Несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых не содержат других простых делителей, кроме 2 и 5, записываются конечной десятичной дробью.  Пример: ;
8. Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби. Для краткости период дроби записывают один раз, заключая его в круглые скобки: 1/3=0,(3); 1/9=0,(1).
9. Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Примеры: 5=5,(0); 3/5=0,6 (0).
10. Бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой разность между всем числом после запятой и числом после запятой до периода, а знаменатель состоит из «девяток» и «нулей», причем, «девяток» столько, сколько цифр в периоде, а «нулей» столько, сколько цифр после запятой до периода .

       Примеры: 1) 0,41 (6)=(416-41)/900=375/900=5/12

                                  2) 0,10 (6)=(106-10)/900=96/900=8/75

                                  3) 0,6 (54)=(654-6)/990=648/990=36/55

                                 4) 0,(15)=(15-0)/99=15/99=5/33

                                 5) 0,5 (3)=(53-5)/90=48/90=8/15.

Отношения и пропорции

1. Равенство двух отношений называют пропорцией.
2. a:b=c:d. Это пропорция. Читают: а так относится к b, как c относится к d. Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c – средними членами пропорции.
3. Основное свойство пропорции: Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Для пропорции a:b=c:d или a/b=c/d основное свойство записывается так: a·d=b·c.
4. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов пропорции разделить на известный крайний член.
5. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член.
6. Пусть величина y зависит от величины х. Если при увеличении х в несколько раз величина у увеличивается во столько же раз, то такие величины х и у называются прямо пропорциональными.
7. Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего расстояния на местности называют масштабом карты.
8. Пусть величина у зависит от величины х. Если при увеличении х в несколько раз величина у уменьшается во столько же раз, то такие величины х и у называются обратно пропорциональными.
9. Формулы длины окружности:

        С = 2r, где С – длина окружности, r – радиус окружности,

        = 3,134163,14

       d, где С – длина окружности, d – диаметр окружности,

        = 3,134163,14

10. Формула площади круга:

            , S  – площадь круга, r – радиус окружности, = 3,134163,14

Положительные и отрицательные числа

1. Координатной прямой называют прямую, на которой заданы положительное направление, начало отсчета (точка О) и единичный отрезок.
2. Каждой точке на координатной прямой соответствует некоторое число, которое называют координатой этой точки. Например, А(5). Читают: точка А с координатой пять.  В(-3). Читают: точка В с координатой минус три.
3. Модулем числа а (записывают |a|) называют расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей данному числу а.
4. Значение модуля любого числа неотрицательно. |3|=3; |-3|=3, т.к. расстояние от начала отсчета и до числа -3 и до числа 3 равно трем единичным отрезкам. |0|=0. По определению модуля числа: |a|=a, если a≥0 и |a|=-a, если а<0.
5. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
6. Например: - 356,7 < 0,16
7. Из двух отрицательных чисел меньше то, мо дуль которого больше.
8. Например: - 5,234 < 0,7
9. Нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного числа. Например: а) 0 > -23,5; б) 0 < 23б,71.

Сложение положительных и отрицательных чисел

1. Сумма отрицательных чисел есть число отрицательное. Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: 1) сложить их модули; 2) поставить перед полученным числом знак « - ». Например:   -3 + (-5) = -8).
2. Сумма двух чисел с разными знаками имеет знак слагаемого с большим модулем. Чтобы  сложить два числа с разными знаками, надо: 1) из большего модуля слагаемых вычесть меньший; 2) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше. Например: а) -4 + 6 = 2;  б) -7 + 3 = -4.
3. Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Например: - 18 – 14 = - 18 + (-14) = - 32.
4. Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца. Например: найти длину отрезка AB, если A (-5) и   B (9). Решение: 9 – (- 5) = 9 + 5 = 14.